anvendelser af komplekse tal

Privacy &Cookies

denne side bruger cookies. Ved at fortsætte accepterer du deres brug. Lær mere, herunder hvordan du styrer cookies.

fik det!

annoncer

Her er min seneste meddelelse til mine førsteårsstuderende.

i ånden af “anvendelser af ren matematik” troede jeg, at jeg ville sige noget om anvendelser af komplekse tal.https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

komplekse tal blev først introduceret af en italiensk matematiker, Gerolamo Cardano, under hans forsøg på at løse kubiske ligninger i det 16.århundrede.

du kender sandsynligvis alle den kvadratiske formel. Der er lignende, men mere komplicerede formler til løsning af kubiske og kvartiske polynomer. Søgningen efter en lignende formel for kintikum viste sig at være frugtløs, og der er faktisk generelt ingen sådan formel til løsning af kintikum. Det relevante område af matematik er Galois teori. Dette er off-topic i dag, men se https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory hvis du vil have en smag. Dette er ikke at sige, at kvintik ikke har rødder(de gør!), bare at du ikke altid kan finde en formel for dem ved hjælp af koefficienterne og nth rødder osv.

dette er alt sammen godt og godt, men at opfinde nogle tilsyneladende fiktive tal for at finde løsninger, hvor du ikke havde dem før, føles måske ikke som meget fremskridt. Men det fantastiske er, at “ren” teori om komplekse tal, komplekse funktioner og kompleks analyse har applikationer næsten overalt, hvor du ser, og ikke kun inden for matematik.

Hvis du har studeret fysik, har du muligvis allerede mødt komplekse tal og funktioner, når du ser på impedans, fasevinkler og oscillerende strømme. Vi nævner praktiske anvendelser på mange andre områder. Jeg vil kun nævne et lille antal ting i dag, men du kan se på

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Applications

for mere.

i første års beregning, når du studerer differentialligninger, vil du se nogle komplekse tal komme ind, når du leder efter løsninger. De går derefter væk igen, fordi du vil finde løsninger ved hjælp af reelle tal. Men eksponentialerne for imaginære tal fører dig til at bruge funktionerne cos og synd i dine løsninger.

i andetårs komplekse funktioner vil du se, hvordan den smukke teori om komplekse funktioner giver dig mulighed for at bruge “restberegning” til hurtigt at finde de nøjagtige værdier af “forkerte integraler”, der ellers ser lidt vanskelige ud, såsom

\int_ {- \infty}^{\infty} \frac{1+^4}\,

og mange langt mere komplicerede eksempler. Faktisk er dette emne nok alene til et tredje års projekt! Men du kunne se

https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration#Applications_of_integral_theorems

for et par flere eksempler.

jeg synes, at det er bemærkelsesværdigt, at den mest effektive måde at beregne denne form for reel integral involverer at bruge teorien om komplekse funktioner som (for det meste) udviklet i det 19.århundrede, især Cauchy og Riemanns arbejde.

Jeg kunne sige meget mere her, men for nu vil jeg bare nævne, at disse metoder bliver afgørende igen for beregning af Laplace transform og inverse Laplace transform, som har for mange applikationer til at liste her! Se for eksempel

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

bedste ønsker,

Dr Feinstein

reklamer

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.