Anwendungen komplexer Zahlen

X

Datenschutz & Cookies

Diese Seite verwendet Cookies. Indem Sie fortfahren, stimmen Sie deren Verwendung zu. Erfahren Sie mehr, einschließlich der Kontrolle von Cookies.

Verstanden!

Werbung

Hier ist meine neueste Ankündigung an meine Erstsemester.

Im Sinne von „Anwendungen der reinen Mathematik“ dachte ich, ich würde etwas über Anwendungen komplexer Zahlen sagen.

Laut der Wikipedia-Seite

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

Komplexe Zahlen wurden erstmals von einem italienischen Mathematiker, Gerolamo Cardano, bei seinen Versuchen eingeführt kubische Gleichungen im 16.

Sie kennen wahrscheinlich alle die quadratische Formel. Es gibt ähnliche, aber kompliziertere Formeln zum Lösen kubischer und quartischer Polynome. Die Suche nach einer ähnlichen Formel für die Quintik erwies sich als erfolglos, und tatsächlich gibt es im Allgemeinen keine solche Formel zur Lösung der Quintik. Der relevante Bereich der Mathematik ist die Galois-Theorie. Dies ist heute off-topic, aber siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory wenn Sie einen Geschmack wünschen. Das soll nicht heißen, dass Quintics keine Wurzeln haben (sie tun es!), nur dass Sie nicht immer eine Formel für sie finden können, indem Sie die Koeffizienten und n-ten Wurzeln usw. verwenden.

Das ist alles schön und gut, aber einige scheinbar fiktive Zahlen zu erfinden, um Lösungen zu finden, wo man sie vorher nicht hatte, mag sich nicht nach viel Fortschritt anfühlen. Aber das Erstaunliche ist, dass die „reine“ Theorie komplexer Zahlen, komplexer Funktionen und komplexer Analysen fast überall Anwendung findet, nicht nur in der Mathematik.

Wenn Sie Physik studiert haben, haben Sie möglicherweise bereits komplexe Zahlen und Funktionen getroffen, wenn Sie Impedanz, Phasenwinkel und Schwingströme betrachten. Wikipedia erwähnt praktische Anwendungen in vielen anderen Bereichen. Ich werde heute nur eine kleine Anzahl von Dingen erwähnen, aber Sie könnten sich

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Applications

für mehr ansehen.

Im ersten Jahr Kalkül, wenn Sie Differentialgleichungen studieren, werden Sie einige komplexe Zahlen kommen, wenn Sie nach Lösungen suchen. Sie gehen dann wieder weg, weil Sie Lösungen mit reellen Zahlen finden wollen. Aber die Exponentiale imaginärer Zahlen führen dazu, dass Sie die Funktionen cos und sin in Ihren Lösungen verwenden.

In second-year complex functions werden Sie sehen, wie die schöne Theorie der komplexen Funktionen es Ihnen ermöglicht, „Residual calculus“ zu verwenden, um schnell die genauen Werte von „unpassenden Integralen“ zu finden, die ansonsten etwas schwierig aussehen, wie

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^4}\,

und viele weitaus kompliziertere Beispiele. In der Tat reicht dieses Thema für sich allein für ein Projekt im dritten Jahr! Aber Sie könnten

https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration#Applications_of_integral_theorems

für ein paar weitere Beispiele sehen.Ich denke, dass es bemerkenswert ist, dass der effizienteste Weg, diese Art von reellem Integral zu berechnen, darin besteht, die Theorie der komplexen Funktionen zu verwenden, wie sie (meistens) im 19.Jahrhundert entwickelt wurde, insbesondere die Arbeit von Cauchy und Riemann.

Ich könnte hier noch viel mehr sagen, aber im Moment erwähne ich nur, dass diese Methoden wieder entscheidend für die Berechnung der Laplace-Transformation und der inversen Laplace-Transformation werden, die zu viele Anwendungen haben, um sie hier aufzulisten! Siehe zum Beispiel

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Beste Wünsche,

Dr. Feinstein

Werbung

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht.