Aplicaciones de los números complejos

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este es mi último anuncio para mis alumnos de primer año.

En el espíritu de «aplicaciones de matemáticas puras», pensé que diría algo sobre las aplicaciones de números complejos.

De acuerdo con la página de Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

los números complejos fueron introducidos por primera vez por un matemático italiano, Gerolamo Cardano, durante sus intentos de resolver ecuaciones cúbicas en el siglo XVI.

Probablemente todos conocen la fórmula cuadrática. Existen fórmulas similares pero más complicadas para resolver polinomios cúbicos y cuárticos. La búsqueda de una fórmula similar para el quíntico resultó infructuosa, y de hecho, en general, no existe tal fórmula para resolver el quíntico. El área relevante de las matemáticas es la Teoría de Galois. Esto está fuera de tema hoy, pero vea https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory si desea un sabor. Esto no quiere decir que los quinticos no tengan raíces (¡las tienen!), solo que no siempre se puede encontrar una fórmula para ellos usando los coeficientes y raíces enésimas, etc.

Todo esto está muy bien, pero inventar algunos números aparentemente ficticios para encontrar soluciones donde no los tenía antes puede no parecer mucho progreso. Pero lo sorprendente es que la teoría «pura» de números complejos, funciones complejas y análisis complejos tiene aplicaciones en casi todas partes, y no solo dentro de las matemáticas.

Si ha estudiado física, es posible que ya haya encontrado números y funciones complejos al observar la impedancia, los ángulos de fase y las corrientes oscilantes. Wikipedia menciona aplicaciones prácticas en muchos otros campos. Solo voy a mencionar un pequeño número de cosas hoy, pero podrías mirar

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Aplicaciones

para más.

En el primer año de cálculo, cuando estudias ecuaciones diferenciales, verás que entran algunos números complejos al buscar soluciones. Luego desaparecen de nuevo, porque quieres encontrar soluciones usando números reales. Pero los exponenciales de números imaginarios te llevan a usar las funciones cos y sin en tus soluciones.

En funciones complejas de segundo año, verá cómo la hermosa teoría de funciones complejas le permite usar «cálculo de residuos» para encontrar rápidamente los valores exactos de «integrales incorrectas» que de otro modo parecen un poco complicadas, como

\int_ {- \infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^4}\,

y muchos ejemplos mucho más complicados. De hecho, este tema es suficiente por sí solo para un proyecto de tercer año. Pero puede ver

https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration#Applications_of_integral_theorems

para ver algunos ejemplos más.

Creo que es notable que la forma más eficiente de calcular este tipo de integral real implica el uso de la teoría de funciones complejas como (en su mayoría) se desarrolló en el siglo XIX, especialmente el trabajo de Cauchy y Riemann.

Podría decir mucho más aquí, pero por ahora solo mencionaré que estos métodos se vuelven cruciales nuevamente para calcular la transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace, ¡que tienen demasiadas aplicaciones para enumerar aquí! Véase, por ejemplo,

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Mejores deseos,

el Dr. Feinstein

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