Applications des nombres complexes

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Je l’ai!
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Voici ma dernière annonce à mes étudiants de première année.

Dans l’esprit des « applications des mathématiques pures », j’ai pensé que je dirais quelque chose sur les applications des nombres complexes.

Selon la page Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

les nombres complexes ont été introduits pour la première fois par un mathématicien italien, Gerolamo Cardano, lors de ses tentatives de résolution d’équations cubiques au 16ème siècle.

Vous connaissez probablement tous la formule quadratique. Il existe des formules similaires mais plus compliquées pour résoudre des polynômes cubiques et quartiques. La recherche d’une formule similaire pour le quintique s’est avérée infructueuse, et en fait, il n’existe en général pas de telle formule pour résoudre le quintique. Le domaine pertinent des mathématiques est la théorie de Galois. C’est hors sujet aujourd’hui, mais voir https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory si vous voulez une saveur. Cela ne veut pas dire que les quintiques n’ont pas de racines (ils le font!), juste que vous ne pouvez pas toujours trouver une formule pour eux en utilisant les coefficients et les nième racines, etc.

Tout cela est bien, mais inventer des nombres apparemment fictifs afin de trouver des solutions là où vous ne les aviez pas auparavant peut ne pas sembler beaucoup de progrès. Mais ce qui est étonnant, c’est que la théorie « pure » des nombres complexes, des fonctions complexes et de l’analyse complexe a des applications presque partout où vous regardez, et pas seulement en mathématiques.

Si vous avez étudié la physique, vous avez peut-être déjà rencontré des nombres et des fonctions complexes en examinant l’impédance, les angles de phase et les courants oscillants. Wikipédia mentionne des applications pratiques dans de nombreux autres domaines. Je ne vais mentionner qu’un petit nombre de choses aujourd’hui, mais vous pouvez regarder

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Applications

pour en savoir plus.

Dans le calcul de la première année, lorsque vous étudiez les équations différentielles, vous verrez apparaître des nombres complexes lors de la recherche de solutions. Ils repartent ensuite, parce que vous voulez trouver des solutions en utilisant des nombres réels. Mais les exponentielles des nombres imaginaires vous amènent à utiliser les fonctions cos et sin dans vos solutions.

Dans les fonctions complexes de deuxième année, vous verrez comment la belle théorie des fonctions complexes vous permet d’utiliser le « calcul des résidus » pour trouver rapidement les valeurs exactes des « intégrales incorrectes » qui semblent un peu délicates autrement, telles que

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1 + x ^4}\,

et de nombreux exemples beaucoup plus compliqués . En fait, ce sujet suffit à lui seul pour un projet de troisième année! Mais vous pouvez voir

https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration#Applications_of_integral_theorems

pour quelques exemples supplémentaires.

Je pense qu’il est remarquable que le moyen le plus efficace de calculer ce type d’intégrale réelle consiste à utiliser la théorie des fonctions complexes telle que (principalement) développée au 19ème siècle, en particulier les travaux de Cauchy et Riemann.

Je pourrais en dire beaucoup plus ici, mais pour l’instant je mentionnerai simplement que ces méthodes redeviennent cruciales pour calculer la transformée de Laplace et la transformée de Laplace inverse, qui ont trop d’applications à énumérer ici! Voir, par exemple,

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Meilleurs voeux,

Dr Feinstein

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