Applicazioni dei numeri complessi

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Ecco il mio ultimo annuncio ai miei studenti del primo anno.

Nello spirito di “applicazioni della matematica pura”, ho pensato di dire qualcosa sulle applicazioni dei numeri complessi.

Secondo la pagina di Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

i numeri complessi furono introdotti per la prima volta da un matematico italiano, Gerolamo Cardano, durante i suoi tentativi di risolvere equazioni cubiche nel xvi secolo.

Probabilmente tutti conoscete la formula quadratica. Esistono formule simili ma più complicate per risolvere polinomi cubici e quartici. La ricerca di una formula simile per il quintico si è rivelata infruttuosa, e in effetti non esiste, in generale, una tale formula per risolvere il quintico. L’area rilevante della matematica è la teoria di Galois. Questo è fuori tema oggi, ma vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory se vuoi un sapore. Questo non vuol dire che i quintici non abbiano radici (lo fanno!), solo che non puoi sempre trovare una formula per loro usando i coefficienti e l’ennesima radice ecc.

Questo è tutto bene, ma inventare alcuni numeri apparentemente fittizi per trovare soluzioni in cui non li avevi prima potrebbe non sembrare molto progresso. Ma la cosa sorprendente è che la teoria “pura” dei numeri complessi, delle funzioni complesse e dell’analisi complessa ha applicazioni quasi ovunque si guardi, e non solo all’interno della matematica.

Se hai studiato fisica, potresti aver già incontrato numeri e funzioni complesse quando osservi l’impedenza, gli angoli di fase e le correnti oscillanti. Wikipedia menziona applicazioni pratiche in molti altri campi. Oggi menzionerò solo un piccolo numero di cose, ma potresti guardare

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Applications

per saperne di più.

Nel calcolo del primo anno, quando studi le equazioni differenziali, vedrai alcuni numeri complessi entrare quando cerchi soluzioni. Poi vanno via di nuovo, perché vuoi trovare soluzioni usando numeri reali. Ma gli esponenziali dei numeri immaginari ti portano a usare le funzioni cos e sin nelle tue soluzioni.

Nel secondo anno di funzioni complesse si vedrà come la bella teoria delle funzioni complesse consente di utilizzare il “residuo di calcolo” per trovare rapidamente i valori esatti di “impropri integrali” che sembrano un po’ difficile, altrimenti, come

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^4}\,

e molti di gran lunga più complicato esempi. In realtà questo argomento è sufficiente da solo per un progetto del terzo anno! Ma potresti vedere

https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration#Applications_of_integral_theorems

per alcuni altri esempi.

Penso che sia notevole che il modo più efficiente per calcolare questo tipo di integrale reale implichi l’uso della teoria delle funzioni complesse come (per lo più) sviluppato nel 19 ° secolo, in particolare il lavoro di Cauchy e Riemann.

Potrei dire molto di più qui, ma per ora dirò solo che questi metodi diventano di nuovo cruciali per calcolare la trasformata di Laplace e la trasformata di Laplace inversa, che hanno troppe applicazioni da elencare qui! Vedi, ad esempio,

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Auguri,

Dr Feinstein

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