Applikasjoner av komplekse tall

X

Personvern& Informasjonskapsler

dette nettstedet bruker informasjonskapsler. Ved å fortsette godtar du bruken av dem. Lær mer, inkludert hvordan du kontrollerer informasjonskapsler.

Fikk Det!

Annonser

Her er min siste kunngjøring til mine førsteårsstudenter.

i ånden av «anvendelser av ren matematikk» trodde jeg at jeg ville si noe om anvendelser av komplekse tall.

ifølge Wikipedia-siden

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

komplekse tall ble først introdusert av en italiensk matematiker, Gerolamo Cardano, under hans forsøk på å løse kubiske ligninger i det 16.århundre.

du kjenner sannsynligvis alle den kvadratiske formelen. Det er lignende, men mer kompliserte formler for å løse kubiske og kvartære polynomer. Søket etter en lignende formel for quintic viste seg å være ubrukelig, og faktisk er det generelt ingen slik formel for å løse quintic. Det aktuelle området i matematikk Er Galois Teori. Dette er off-topic i dag, men se https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory hvis du vil ha en smak. Dette er ikke å si at quintics ikke har røtter (de gjør det!), bare at du ikke alltid kan finne en formel for dem ved hjelp av koeffisientene og nth-røttene etc.

Dette er alt bra og bra, men å finne noen tilsynelatende fiktive tall for å finne løsninger der du ikke hadde dem før, kan ikke føles som mye fremgang. Men det fantastiske er at» ren » teori om komplekse tall, komplekse funksjoner og kompleks analyse har applikasjoner nesten overalt du ser, og ikke bare innen matematikk.Hvis du har studert fysikk, kan du allerede ha møtt komplekse tall og funksjoner når du ser på impedans, fasevinkler og oscillerende strømmer. Wikipedia nevner praktiske anvendelser på mange andre felt. Jeg skal bare nevne et lite antall ting i dag, men du kan se på

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Applications

for mer.

i første års kalkulator, når du studerer differensialligninger, vil du se noen komplekse tall komme inn når du ser etter løsninger. De går da bort igjen, fordi du vil finne løsninger ved hjelp av reelle tall. Men eksponentialene til imaginære tall fører deg til å bruke funksjonene cos og synd i dine løsninger.

i andreårs komplekse funksjoner vil du se hvordan den vakre teorien om komplekse funksjoner lar deg bruke «rest calculus» for raskt å finne de eksakte verdiene for «feil integraler» som ser litt vanskelig ut ellers, for eksempel

\int_ {- \infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^4}\,

og mange langt mer kompliserte eksempler. Faktisk er dette emnet nok på egen hånd for et tredje års prosjekt! Men du kan se

https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration#Applications_of_integral_theorems

for noen flere eksempler.jeg synes det er bemerkelsesverdig at Den mest effektive måten å beregne denne typen ekte integral innebærer å bruke teorien om komplekse funksjoner som (for det meste) utviklet i Det 19. århundre, spesielt arbeidet Til Cauchy og Riemann.

jeg kan si mye mer her, men for nå vil jeg bare nevne at disse metodene blir avgjørende igjen for å beregne Laplace transform og inverse Laplace transform, som har for mange applikasjoner å liste her! Se for eksempel

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Beste ønsker,

Dr Feinstein

Annonser

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert.