toepassingen van complexe getallen

X

Privacy & Cookies

deze site maakt gebruik van cookies. Door verder te gaan, gaat u akkoord met het gebruik ervan. Meer informatie, waaronder het beheren van cookies.

heb het!

advertenties

Hier is mijn laatste aankondiging voor mijn eerstejaarsstudenten.

In de geest van “toepassingen van de zuivere wiskunde”, dacht ik iets te zeggen over toepassingen van complexe getallen.

volgens de Wikipedia pagina

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

complexe getallen werden voor het eerst geïntroduceerd door een Italiaanse wiskundige, Gerolamo Cardano, tijdens zijn pogingen om kubieke vergelijkingen op te lossen in de 16e eeuw.

u kent waarschijnlijk allemaal de kwadratische formule. Er zijn vergelijkbare maar ingewikkelder formules voor het oplossen van kubieke en kwartische veeltermen. De zoektocht naar een soortgelijke formule voor de kwintische bleek vruchteloos, en in feite is er, in het algemeen, geen dergelijke formule voor het oplossen van de kwintische. Het relevante gebied van de wiskunde is de Galoistheorie. Dit is off-topic vandaag, Maar zie https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory Als u een smaak wilt. Dit wil niet zeggen dat quintics geen wortels hebben (dat doen ze!), alleen dat je niet altijd een formule voor hen met behulp van de coëfficiënten en nde wortels etc.

Dit is allemaal goed en wel, maar het uitvinden van een aantal schijnbaar fictieve getallen om oplossingen te vinden waar je ze niet eerder had, voelt misschien niet als veel vooruitgang. Maar het verbazingwekkende is dat” pure ” theorie van complexe getallen, complexe functies en complexe analyse toepassingen heeft bijna overal waar je kijkt, en niet alleen binnen de wiskunde.

Als u natuurkunde hebt gestudeerd, kunt u al complexe getallen en functies hebben ontmoet Als u kijkt naar impedantie, fasehoeken en oscillerende stromen. Wikipedia noemt praktische toepassingen op vele andere gebieden. Ik ga vandaag maar een klein aantal dingen noemen, maar je zou kunnen kijken naar

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Applications

voor meer.

in de eerste jaarrekening, wanneer u differentiaalvergelijkingen bestudeert, zult u enkele complexe getallen zien binnenkomen bij het zoeken naar oplossingen. Ze gaan dan weer weg, omdat je oplossingen wilt vinden met behulp van echte getallen. Maar de exponentialen van imaginaire getallen leiden je tot het gebruik van de functies cos en zonde in je oplossingen.

in complexe functies in het tweede jaar zult u zien hoe de mooie theorie van complexe functies u in staat stelt om “residucalculus” te gebruiken om snel de exacte waarden te vinden van “oneigenlijke integralen” die anders een beetje lastig lijken, zoals

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^4}\,

en vele veel ingewikkelder voorbeelden. In feite is dit onderwerp genoeg op zichzelf voor een derde jaar project! Maar u kunt

https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration#Applications_of_integral_theorems

voor een paar meer voorbeelden zien.ik denk dat het opmerkelijk is dat de meest efficiënte manier om dit soort reële integraal te berekenen bestaat uit het gebruik van de theorie van complexe functies zoals (meestal) ontwikkeld in de 19e eeuw, met name het werk van Cauchy en Riemann.

Ik zou hier veel meer kunnen zeggen, maar voor nu zal ik gewoon vermelden dat deze methoden weer cruciaal worden voor het berekenen van de Laplace-transformatie en de inverse Laplace-transformatie, die te veel toepassingen hebben om hier op te sommen! Zie bijvoorbeeld

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

beste wensen,

Dr Feinstein

advertenties

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.