zastosowania liczb zespolonych

X

Prywatność & Pliki cookie

Ta strona używa plików cookie. Kontynuując, zgadzasz się na ich użycie. Dowiedz się więcej, w tym jak kontrolować pliki cookie.

mam!

ogłoszenia

oto moje ostatnie ogłoszenie dla studentów pierwszego roku.

w duchu „zastosowań czystej matematyki” pomyślałem, że powiem coś o zastosowaniach liczb zespolonych.

zgodnie ze stroną Wikipedii

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

liczby zespolone zostały po raz pierwszy wprowadzone przez włoskiego matematyka, Gerolamo Cardano, podczas jego prób rozwiązania równań sześciennych w XVI wieku.

pewnie wszyscy znacie wzór kwadratowy. Istnieją podobne, ale bardziej skomplikowane wzory rozwiązywania wielomianów sześciennych i kwartycznych. Poszukiwanie podobnego wzoru dla kwintyki okazało się bezowocne, a w rzeczywistości nie ma takiego wzoru na rozwiązanie kwintyki. Istotną dziedziną matematyki jest teoria Galois. To jest dzisiaj off-topic, ale zobacz https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory, jeśli chcesz posmakować. Nie oznacza to, że kwintycy nie mają korzeni (mają!), tylko że nie zawsze można znaleźć dla nich wzór na współczynniki i n-te pierwiastki itp.

wszystko jest dobrze, ale wymyślanie pozornie fikcyjnych liczb w celu znalezienia rozwiązań, w których wcześniej ich nie było, może nie sprawiać wrażenia dużego postępu. Ale zadziwiające jest to, że” czysta ” teoria liczb zespolonych, funkcji zespolonych i analizy zespolonej ma zastosowanie niemal wszędzie, nie tylko w matematyce.

Jeśli studiowałeś fizykę, możesz już spotkać liczby zespolone i funkcje, patrząc na impedancję, kąty fazowe i prądy oscylacyjne. Wikipedia wymienia praktyczne zastosowania w wielu innych dziedzinach. Dzisiaj wspomnę tylko o małej liczbie rzeczy, ale możesz zajrzeć na

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Aplikacje

, aby uzyskać więcej informacji.

w pierwszym roku rachunku różniczkowego, kiedy studiujesz Równania różniczkowe, zobaczysz, że niektóre liczby zespolone pojawiają się, gdy szukasz rozwiązań. Następnie odchodzą ponownie, ponieważ chcesz znaleźć rozwiązania za pomocą liczb rzeczywistych. Ale wykładniki liczb urojonych prowadzą do użycia funkcji cos I sin w swoich rozwiązaniach.

w drugiej klasie funkcji złożonych zobaczysz, jak piękna Teoria funkcji złożonych pozwala na użycie „rachunku resztkowego”, aby szybko znaleźć dokładne wartości „niewłaściwych całek”, które w przeciwnym razie wyglądają trochę podstępnie, takich jak

\int_ {- \infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^4}\,

i wiele znacznie bardziej skomplikowanych przykłady. W rzeczywistości ten temat sam w sobie wystarczy na trzeci rok projektu! Ale możesz zobaczyć

https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration#Applications_of_integral_theorems

, aby uzyskać więcej przykładów.

myślę, że to niezwykłe, że najskuteczniejszy sposób obliczania tego rodzaju całki rzeczywistej polega na wykorzystaniu teorii funkcji złożonych (głównie) opracowanej w XIX wieku, zwłaszcza prac Cauchy ’ ego i Riemanna.

mógłbym powiedzieć o wiele więcej, ale na razie wspomnę tylko, że te metody stają się ponownie kluczowe dla obliczenia transformacji Laplace 'a i odwrotnej transformacji Laplace’ a, które mają zbyt wiele zastosowań, aby wymienić tutaj! Zobacz na przykład

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

najlepsze życzenia,

Dr Feinstein

ogłoszenia

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.