Applications of complex numbers

X

Privacy &Cookies

Este site utiliza cookies. Continuando, você concorda com o uso deles. Saiba mais, incluindo como controlar cookies.consegui!

anúncios

Aqui está o meu último anúncio aos meus alunos do primeiro ano.no espírito de “aplicações da matemática pura”, pensei em dizer algo sobre aplicações de números complexos.

de Acordo com a página da Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

os números complexos foram introduzidas pela primeira vez por um matemático italiano, Gerolamo Cardano, durante suas tentativas para resolver equações cúbicas, no século 16.

provavelmente todos conhecem a fórmula quadrática. Existem fórmulas similares mas mais complicadas para resolver polinômios cúbicos e quarticos. A busca por uma fórmula semelhante para a quintica provou-se infrutífera, e de fato não existe, em geral, tal fórmula para resolver a quintica. A área relevante da matemática é a teoria de Galois. Isso está fora do tópico hoje, mas veja https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory se você quiser um sabor. Isto não quer dizer que os quinticos não têm raízes (eles têm!), apenas que você não pode sempre encontrar uma fórmula para eles usando os coeficientes e nth raizes etc.

isto está tudo bem e bem, mas inventar alguns números aparentemente fictícios, a fim de encontrar soluções onde você não os tinha antes pode não sentir muito progresso. Mas a coisa surpreendente é que a teoria “pura” dos números complexos, funções complexas e análise complexa tem aplicações em quase todos os lugares que você olha, e não apenas dentro da matemática.

Se você estudou física, você já pode ter encontrado números complexos e funções ao olhar para impedância, ângulos de fase e correntes oscilantes. Wikipedia mentions practical applications in many other fields. Eu só vou mencionar um pequeno número de coisas hoje, mas você poderia olhar para

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Applications

para mais.

no cálculo do primeiro ano, quando você estuda equações diferenciais, você verá alguns números complexos aparecerem ao procurar soluções. Eles então vão embora novamente, porque você quer encontrar soluções usando números reais. Mas os exponenciais dos números imaginários levam você a usar as funções cos e pecado em suas soluções.

No segundo ano em funções complexas, você vai ver como a bela teoria das funções complexas permite que você use o “resíduo de cálculo” para encontrar rapidamente os valores exatos de “impróprio integrais” que parecer um pouco complicado de outra forma, como

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^4}\,

e muitos mais complicados exemplos. Na verdade, este tópico é suficiente por si só para um projeto do terceiro ano! Mas você poderia ver

https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration#Applications_of_integral_theorems

para mais alguns exemplos.

eu acho que é notável que a maneira mais eficiente de calcular este tipo de integral real envolve o uso da teoria das funções complexas como (principalmente) desenvolvido no século XIX, especialmente o trabalho de Cauchy e Riemann.

eu poderia dizer muito mais aqui, mas por agora vou apenas mencionar que esses métodos se tornam cruciais novamente para calcular a Transformada de Laplace e a Transformada de Laplace inversa, que têm muitas aplicações para listar aqui! Ver, por exemplo,

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

os Melhores cumprimentos,

Dr Feinstein

Anúncios

Deixe uma resposta

O seu endereço de email não será publicado.