tillämpningar av komplexa tal

X

Sekretess & Cookies

denna webbplats använder cookies. Genom att fortsätta godkänner du deras användning. Läs mer, inklusive hur du kontrollerar cookies.

fick det!

annonser

här är mitt senaste meddelande till mina förstaårsstudenter.

i andan av” tillämpningar av ren matematik ” trodde jag att jag skulle säga något om tillämpningar av komplexa tal.

enligt Wikipedia-sidan

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

komplexa tal introducerades först av en italiensk matematiker, Gerolamo Cardano, under hans försök att lösa kubiska ekvationer på 16-talet.

Du vet förmodligen alla den kvadratiska formeln. Det finns liknande men mer komplicerade formler för att lösa kubiska och kvartiska polynom. Sökandet efter en liknande formel för quintic visade sig vara fruktlös, och i själva verket finns det i allmänhet ingen sådan formel för att lösa quintic. Det relevanta området för matematik är Galois teori. Detta är off-topic idag, men se https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory om du vill ha en smak. Detta är inte att säga att quintics inte har rötter (de gör det!), bara att du inte alltid kan hitta en formel för dem med hjälp av koefficienterna och nth-rötterna etc.

det här är bra och bra, men att uppfinna några uppenbarligen fiktiva nummer för att hitta lösningar där du inte hade dem tidigare kanske inte känns som mycket framsteg. Men det fantastiska är att ”ren” teori om komplexa tal, komplexa funktioner och komplex analys har applikationer nästan överallt du tittar, och inte bara inom matematik.

om du har studerat fysik kanske du redan har träffat komplexa tal och funktioner när du tittar på impedans, fasvinklar och oscillerande strömmar. Wikipedia nämner praktiska tillämpningar inom många andra områden. Jag kommer bara att nämna ett litet antal saker idag, men du kan titta på

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Applications

För mer.

i första årskalkylen, när du studerar differentialekvationer, kommer du att se några komplexa tal komma in när du letar efter lösningar. De går sedan bort igen, för att du vill hitta lösningar med reella tal. Men exponentialerna för imaginära tal leder dig att använda funktionerna cos och sin i dina lösningar.

i andra årets komplexa funktioner ser du hur den vackra teorin om komplexa funktioner gör att du kan använda ”restkalkyl” för att snabbt hitta de exakta värdena för ”felaktiga integraler” som ser lite knepiga ut, till exempel

\ int_ {- \infty}^{\infty} \ frac{dx}{1 + x^4}\,

och många mycket mer komplicerade exempel. Faktum är att detta ämne räcker på egen hand för ett tredjeårsprojekt! Men du kan se

https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration#Applications_of_integral_theorems

För några fler exempel.

Jag tycker att det är anmärkningsvärt att det mest effektiva sättet att beräkna denna typ av verklig integral innebär att man använder teorin om komplexa funktioner som (mestadels) utvecklades i 19th century, särskilt Cauchy och Riemanns arbete.

Jag kan säga mycket mer här, men för nu ska jag bara nämna att dessa metoder blir avgörande igen för att beräkna Laplace-transformationen och inverse Laplace-transformationen, som har för många applikationer att lista här! Se till exempel

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

bästa hälsningar,

dr Feinstein

annonser

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.